Por: Rogelio Torres

Por: Rogelio Torres

En el algoritmo de raíz cuadrada, se usa la expansión $latex \left(a+b\right) ^{2}=\allowbreak a^{2}+2ab+b^{2}$ de tal forma que al separar los digitos de $latex a+b$ en pares podamos aproximar el primer numero $latex a$ dejando el resto de la expresión para repeticiones sucesivas del algoritmo. De este modo cuando en el siguiente paso hacemos "el doble del numero que elegimos agregando otro tal que multiplicado por el numero que agregamos sea menor que el resto dentro de la casita" es exactamente lo mismo que hacer $latex \left(2a\ast 10+b\right) \ast b=2ab+b^{2}$ que es el complemento de la expansión binomial (con la ligera diferencia de que $a$ es un multiplo de 10). Para la raíz cúbica se hará lo mismo en cada paso, entonces:

ALGORITMO

1.- Separamos los digitos de $latex a+b$ en ternas de derecha a izquierda a partir del punto decimal y después del punto, de izquierda a derecha.

2.- Se aproxima por abajo la raíz cúbica del numero (en bloques de comas) más a la izquierda y se anota en el resultado calculando el resto y agregando la siguiente terna.

3.- Usando el resultado actual multiplicado por 10 como $latex a$ y agregando un $latex b$ de tal forma que la expresión $latex 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ aproxime por abajo al resto actual. Calculamos el resto, agregamos la siguiente terna (si la hay).

4.- Se repite el paso 3 hasta terminar con las ternas o hasta la precisión deseada.

Paso 1: Separamos los digitos en ternas.

$latex \sqrt[3]{15,363,967,256}$

Paso 2: Aproximamos $latex \sqrt[3]{15}$ por debajo, esto es 2. De modo que $latex 15-2^{3}=7$, lo anotamos y agregamos la siguiente terna de arriba 363.

$latex \begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2 \\\text{ \ \ \ }7,363 &\end{array}$

Paso 3: Hacemos $latex a=2\ast 10=20$ y pensamos un $latex b$ tal que $latex 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 7,363$. Reexpresando tenemos: $latex 3\left( 20\right)^{2}b+3\left( 20\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 1200b+60b^{2}+b^{3}$, donde el termino "lider" es $latex 1200b$ seleccionando b=4 obtenemos $latex 1200\left( 4\right) +60\left( 4\right) ^{2}+4^{3}=\allowbreak 5,824$. Anotamos el 4 (el valor de $latex b$ que elegimos), calculamos el resto 7363-5824=1539, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna. (Note que con b=5 nos hubieramos pasado del resto obteniendo $latex 1200\left( 5\right) +60\left(5\right) ^{2}+5^{3}=\allowbreak 7625$).

$latex \begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 24 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 &\end{array}$

Paso 3 (Segunda iteración): Ahora hacemos $latex a=24\ast 10=240$ y pensamos un $latex b$ tal que $latex 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 1,539,967$. Reexpresando: $latex 3\left( 240\right) ^{2}b+3\left( 240\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 172800b+720b^{2}+b^{3}$, donde el termino "lider" es $latex 172800b$ seleccionando b=8 obtenemos $latex 172800\left( 8\right) +720\left( 8\right)^{2}+8^{3}=\allowbreak 1428\,992$. Anotamos el 8 (el valor de $latex b$ que elegimos), calculamos el resto 1,539,967-1,428,992=110,975, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna.

$latex \begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 248 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 &\end{array}$

Paso 3 (Tercera iteración): Ahora hacemos $latex a=248\ast 10=2480$ y pensamos un $latex b$ tal que $latex 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 110,975,256$. Reexpresando tenemos: $latex 3\left( 2480\right) ^{2}b+3\left( 2480\right) b^{2}+b^{3}$, donde el termino "lider" es $latex 3\left( 2480\right) ^{2}b$ seleccionando b=6 obtenemos $latex 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right) +3\left( 2480\right)\left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256$. Anotamos el 6 (el valor de $b$ que elegimos), calculamos el resto 110,975,256-11,097,256=0, lo anotamos debajo y como el resto es cero, la raíz es exacta.

$latex \begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2486 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 & 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right)+3\left( 2480\right) \left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256 \\\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }0 &\end{array}$

De este modo:

$latex \sqrt[3]{15,363,967,256}=2486$

Como este procedimiento es general, para cualquier entero $latex n>3$ basta con sustituir las referencias cúbicas por n-ésimas y la expansión binomial cúbica por la n-ésima $latex \left( a+b\right) ^{n}$.

Post #01 - mycomplexsoul

Curso de pensamiento sitémico

Systems thinking and practice - LearningSpace - OpenLearn - The Open University

Otra particularidad de Jeliot 3 es que puede ser añadido a BlueJ como extensión. Para quien no lo conozca BlueJ es el mejor IDE para aprender a programar.

Testem o algoritmo pf e digam alguma coisa.

"Ñ existem coisas novas. Existem sim, coisas antigas feitas de forma diferente" :-)

Qual o site faz parte da vida de todo internauta (além deste aqui)? O Google, claro, quem nunca ouviu falar no Google que receba a primeira pedrada. E você já se perguntou de onde vem esse nome - Google?

Battle Nerds Blog for the rescue!

O nome Google é apenas uma referência ao googol, um número tão grande quanto inútil. Um googol nada mais é que 10¹⁰⁰, ou seja, um número 1 seguido por 100 zeros, e foi usado pela primeira vez em 1938 por Edward Kasner, um matemático americano, apenas para ilustrar a diferença entre um número muito grande e o infinito. Pode não parecer tanto, mas o número de partículas elementares (as menores partículas conhecidas, como por exemplo o quark, menores que até mesmo elétrons) em todo o universo observável é estimado entre 10⁷⁹ e 10⁸¹.

Mas, mais legal que um googol, é um googolplex, que é exatamente 10 elevado a um googol, ou seja, o número 1 seguido por googol zeros. Este número também dá nome ao quartel general do Google, o Googleplex, localizado na Califórnia.

O googolplex é um número tão grande que nem mesmo se transformássemos toda a matéria do universo em tinta e papel seria possível escrevê-lo em notação decimal. E, mesmo que todo papel e tinta necessário existissem, para escrevê-lo você levaria aproximadamente 10²⁰ vezes a idade do universo.

Se não dá pra escrever, que tal apenas mostrá-lo na tela do computador?

Frank Pilhofer, um engenheiro de software com bastante tempo livre, escreveu um pequeno programa em C que não faz nada além de escrever na tela um googleplex (o código na página dele). Além de escrever o código, ele também provou que este programa é inútil, a partir de dois corolários:

Corolário 1: O poder computacional dobra a cada 2 anos.
A Lei de Moore afirma que o poder computacional dos chips disponíveis no mercado dobra a cada 18 meses. Esta lei tem sido válida pelos últimos 30 anos, mas Frank resolveu pegar leve e, para facilitar os cálculos, arredontou para 24 meses, segundo ele a diferença não é tão significante no final.

Corolário 2: Em computadores atuais, este programa é executado por cerca de 3,125 x 10⁸⁵ anos.
Frank calculou que o programa exibe cerca de 10⁷ dígitos por segundo. Um ano tem cerca de 3,2 x 10⁷ segundos, logo são exibidos cerca de 3,2 x 10¹⁴ dígitos por ano. Portanto, são necessários 3,125 x 10⁸⁵ anos para exibir todo o googolplex e o programa terminar.

Logo, se esperarmos dois anos para iniciarmos a execução do programa, os computadores que teremos serão duas vezes mais rápidos e o programa será executado na metade do tempo. Ou seja, se esperarmos dois anos para iniciarmos a execucão do programa num computador novo, ele terminará ao mesmo tempo que se iniciarmos o programa agora.

Dessa forma, Frank concluiu também que é inútil iniciarmos o programa que exibe um googolplex hoje. E será inútil pelos próximos 564 anos. Se a Lei de Moore continuar valendo por todo este tempo, é melhor comprar um computador novo daqui a 564 anos e iniciar o programa que ele terminará antes do que se iniciarmos o programa agora num computador que temos disponível no momento!

Holy cow!

Este post foi inspirado pelo post super bacanudo da Feanari sobre números!

Encontrei hoje meio sem querer um excelente artigo, disponível no Code Project, explicando passo-a-passo como desenvolver aplicações que utilizem GPS.

Writing Your Own GPS Application: Part I

Writing Your Own GPS Application: Part II

Esse artigo foi dividido em três partes, sendo que a terceira ainda não está disponível. Assim que a publicarem atualizo esse post.

At
Glauco Vinicius

No se actualiza con mucha frecuencia (la última entrada es de marzo) pero merece la pena echar un vistazo.

Si te interesa el tema el MIT publica unos cursos de introducción a los algoritmos. En este blog hacen un seguimiento a los mismos.

Aqui esta el examen extraordinario

Por: Rogelio Torres

Por: Rogelio Torres.